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公理論的証明法とは、いくつかの公理から、演えき法だけを使ってひしょうにたくさんの定理を証明してみせる方法だといえます。
そしてこの少数の公理と多数の定理が一つの巨大な体系をなしていることから、その体系を公理系と呼ぶことがあります。
さきにいいましたようにピタゴラスの定理の証明法は多種多様、大へんたくさんあります。
しかしそのうちでユークリッドのおこなった公理論的証明法がいちばん優れているのは、この証明法の背後に巨大な、しかも精密に組み立てられた体系をもっているからであり、そうした体系のうちのどの位置に、ピタゴラスの定理がはめこまれているのか、はっきり見てとれるからなのですフェルマーの問題以上で演えき的方法のすばらしさがいく分かでも感じとれたことでしょう。
幸い、演えき的証明法がみつかりましたが、しかしフェルマーの問題の場合にはそれがいまだにみつかっていません。
フェルマーの問題とは、自然数″が３以上のとき、方程式ｔ十Ｓｌｔを満足させるどんな自然数も存在しないというものです。
これはフェルマーという大数学者か自分のノートの欄外に証明抜きで書き留めていたものです。
フェルマーは自分では証明できたもの、したがって定理だと思っていたのですが、さて他の人がやってみてもどうしても成功しないのです。
そしてそれ以来現在までなんと三〇〇年間、いろんな優れた数学者たちがその証明にいどんだのですか、いまだにうまくいっておりません。
だからフェルマーの定理とはいわすにフェルマーの問題とか、フェルマーの予想といっているのです。
この「予想」ということばからわかるように、フェルマーはまず、自然数″が３以上のときは、七十池＝Ｓを満足させるどんな自然数もみっけられそうにないことに気付き、ついでその証明もできそうだとあらかじめ想定してからそれにとりかかったのです。
このように証明するまえには、証明されるべき主張かまえもって存在しなければなりません。
しかもその主張はひとの興味をひくものであればあるほどいいのです。
それではフェルマーはどのようにしてそうした予想をもったのでし。
うか。
まず考えられることはピタブフスの定理との連関です。
≒十％―Ｉで自然数回ラスの定理です。
だとすれば″を３以上にすればどうなるかと考えたのでしょう。手あたり次第に試してみても、どうも適当なのトリオ（三つ組）かみつかりません。
もっと本腰をいれて長時間かけてみてもどうしてもみつからなかったのでし。
う。
そしてだからこそフェルマーは、帰納法を使って、いっそのこと絶対みつからないといった飛躍した言言をおこなったのであり、彼はそのうえでその宣’言の証明にとりかかったのです。
このようにピタゴラスの定理の場合にせよ、フェルマーの問題にせよ、証明にとりかかるまえには、それ相応の前段階というものがあるのです。
つまりおもしろい問題の発見、おもしろい疑問の発見ということがあるのです。
どんな学問においても、そしてとりわけ数学において、確かに難しい問題を解くということも大きな仕事ではありますが、おもしろい問題を考え出すということ自体も、たとい自分でそれが解けなかったとしても、それはそれで大そうりっぱな仕事なのです。
とはいえフェルマーの問題はまだ解けていません。
自然数を満足する自然数のトリオかひょっとすれば将来みつかるかもしれません。
みつかればフェルマーの予想はまちかっていたということになります。
だからそうしたトリオがみつかるか、それともそうしたトリオが存在しないというきちんとした証明ができあがるまでは、スリルいっぱいのレースかながめられることでしょうし、みなさんの中から、もしかしたらそうしたレースに参加する人が出てくるかもしれません。
名探偵ホームズのみごとな千里眼ぶりを一つ紹介しましょう。
『四人の署名』の中で、ホームズは友人ワトソンにたいして「君は郵便局へ行ってきたようだか、それは恐らく電報を打ちに行ったのだろう」と言って、ワトソンを驚かせます。
しかしそのあとでホームズはすぐ種明かしをしてみせます。
つまり、ワトソンを驚かせた結論はつぎのような推論の結果だったのです。
君は手紙を出しに行ったか、あるいは切手を買いに行つたか、あるいは葉書を買いに行ったか、あるいは電報を打ちに行ったかである。
君は手紙を出しに行ったのではない。
（なぜなら午前中君の向かいにすわっていて君が手紙を書いていないことを知っているから。
一君は切手を買いに行ったか、あるいは葉書を買いに行ったか、あるいは電報を打ちに行ったかである。
これは形式から・みればりっぱな推論ですので∴のほうを使いました。
第一前提の選択肢は四つでしたが、いまの推論で一個減りました。
しかしホームズはさらにあと二つを消していきます。
彼はいいます。
「君のあけっぱなしの机のひきだしの中にシートのままの切手と葉書のぶ厚い東を目にしていたんだよ。
だから切手や葉書を買いに行ったのではあるまいどこうとなると残る選択肢は「電報を打ちに行った」ということになり、これかとりもなおさず最終結論だったというわけです。
こうした推論の方法は消去法と名づければいいでし。
う。
そしてこの推論自体はりっぱなもので、だからこそ∴の方を使いました。
しかしこの推論はたんとなく危ない感じがしませんか。
もししたとすればあなたの直観は正しかったと思います。
というのもいまの推論は形式そのものは正しいのですが、材料のほうに不備かあります。
じっさい、第前提の四つの選択肢で全部の可能性が尽くされていれば、この第一前提は真なのですが、他の可能性もあるとすれば、この第一前提はその可能性を洩らしているという意味で偽となります。
他の可能性とは貯金のためとか、送金のためとか、年金の受けとりのためとかが考えられます。
ホームズの時代のイギリスの郵便局はそんな業務をしていなかったとしても、ワトソンが郵便に関すること以外の目的で郵便局に出かけたという可能性だって皆無ではありません。
このようにしていまの推論は推論だけとしてみれば問題ないのですが、第一前提の選択肢に見落としがあった場合、第一前提は偽となり、そうした偽の前提からは偽の結論かでてくることだって起こりうるのです。
だからホームズのやった推論は、いまのように当ることもありますが、はずれる可能性もあるというかなり危険なものなのです。
だとすれば危険でない推論はどんなものでしょうか。
いまの例でいいますと、選択肢かほんとに尽くされているか念入りに調べ、見落としがあれば付け加え、あらかじめあらゆる可能性を調べてみなければならないのです。
このようにあらゆる可能性を数えあげるということは、いうはやすく、おこなうに難いことです。
しかし数学の場合は、ことは比較的簡単です。
つぎの例をみましょう。
この整数″は負か、それともゼロか、それとも正である。
この整数″は負ではない。
∴この整数はゼロか、それとも正である。
いまの結論を第一前提として、この整数″はゼロでないという第二前提をつけ加えますと、つぎのような結論が生まれます。
∴この整数″は正である。
この推論は形式からいっても、内容からいっても、文句のつけようのない完ぺきなものだといえます。
消去法的推論でホームズの場合は可能性を尽くしたという保証がえられなかったし、数学の場合は、尺くすことはできましたが、そのためには、整数は負かゼロか正かだという数学的知識が必要だったのです。
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